Sistem Persamaan Linier

 NAMA               : KEVIN NUGRAHA SANTIKA PERMANA

NIM                    : 202231017

KELAS               : A

PRODI                : TEKNIK INFORMATIKA

MATA KULIAH : ALJABAR LINIER

A. Pengertian Sistem Persamaan Linier 

Persamaan linier adalah suatu persamaan dengan n variabel yang tidak diketahui. 

X1, X2, X3 ... , Xn yang dinyatakan dalam bentuk : a1 X1 + a2X2 + ... , an x n = b1

dimana a1, a2, ..., an dan b adalah kontanta real (kompleks).

Persamaan linier secara geometri dengan istilah garis 

Contoh : 

Persamaan Linier : 

(1). 2X1 + 4X2 = 10 

(2). 2X1 - 4X2 + 3X3+4X4

Persamaan linier adalah suatu susunan yang terdiri dari m persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui yang berbentuk : 

a11 X1 + a12 X2 + ... + a1n Xn = b1 

a21 X1 + a22 X2 + ... + a2n Xn = b2 

a31 X1 + a32 X2 + ... + a3n Xn = b3 

a41 X1 + a42 X2 + ... + a4n Xn = b4 

.............................................................

am 1x1 + am 2x2 + ... + amn x n = bm dimana X1, X2, ... , Xn disebut variable yang tidak diketahui, aij kontanta koefisien sistem persamaan linier dan bj kontanta yang diketahui. 

B. Konsistensi SPL 

Perhatikan contoh berikut 

• Kasus 1 SPL berbentuk 

          x+2y = 10

          x-y = 4

Dalam bentuk grafik solusinya adalah : 

SPL konsisten, solusi tunggal, x = 6. y = 2

• Kasus 2, SPL berbentuk : 

          x+2y = 4

          2x+4y = 8

SPL konsisten solusi memuat parameter, yaitu y = t dan x = 4-2t 

• Kasus 3, SPL berbentuk : 

          x+2y = 4

          x+2y = 8

Dalam grafik adalah : 

SPL tidak konsisten, tidak ada solusi . 

C. Metode Solusi SPL 

• Metode Gouss
• Metode Eliminasi Gouss Jourdan
• Metode Crammer 
• Metode Invers Matriks 
• Metode Dekomposisi Matriks 
• Metode Gouss Seidel 
• Metode Jacobi 
• Metode Numerik 
• Solusi dengan Program Komputer 

D. Bentuk Matrik SPL 

Dalam bentuk matrik SPL dituliskan menjadi, 

                   

                    AX = B 

atau, 

SPL, AX = B diklasifikasikan menjadi : 

(a) SPL homogen, jika koefisien matrik B = 0

(b) SPL nom homogen, jika terdapat koefisien matrik B tak nol. 

Contoh : 

SPL non homogen 

        2X1 + 3X2 + 4X3 = 4

        2X2 - 3X3 + 2X4 = 2

        X1 + 2X3 + 3X4 = 5

        3X1 + X2 - 3X4 = 6

Tentukanlah SPL jika ada

           X1 - 2X2 + 2X3 = 5

           2X1 - 3X2 + X3 = 8

           X1 - 3X2 + 5X2 = 10

Jawab : 

Matrik dengan SPL : 

Karena pada baris ketiga matrik A elemennya 0 semua tetapi, matrik B bernilai 3, maka SPL ini tidak mempunyai jawaban. 

Contoh : 

Carilah solusi SPL berikut dengan metode Crammer : 

2X1 + 4X2 + 3X3 = 16 

3X1 + 5X2 + 2X3 = 12 

4X1 + 6X2 + 3X3 = 12 

Jawab : 

Bentuk Matrik SPL, AX = B adalah :